一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．若 =k,且3a－2b+c=3,則2a+4b－3c的值是（ ）
A.14 B.42 C.7 D.
2．如圖，已知直角三角形的兩條直角邊長的比為a∶b=1∶2,其斜邊長為 4 cm，那么這個三角形的面積是（ ）
A.32 cm2 B.16 cm2 C.8 cm2 D.4 cm2
3．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于點D、E，若AD=4，DB=2，則DE∶BC的值為（ ）
A． B． C． D．
4．下列結論不正確的是( )
A.所有的矩形都相似 B.所有的正方形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似 D.所有的正八邊形都相似
5．如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，則△A′B′C′與△ABC的相似比為( )
A.5∶3 B.3∶2 C.2∶3 D.3∶5
6．如圖，小正方形的邊長均為l，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是( )
7．如果線段A B上的一點P把AB分割為兩條線段PA、PB，當PA2=PB•AB，即PA≈0.6 18AB時，則稱點P是線段AB的黃金分割點.現已知線段AB=10，點P是線段AB的黃金分割點，如圖 所示.那么線段PA的長約為（ ）
A、 6.18 B、0.382 C、 0.618 D、3.28
8．如圖，設M，N分別是直角梯形ABCD兩腰AD，CB的中點，DE上AB于點E，將△ADE沿DE翻折，M與N恰好重合，則AE：BE等于（ ）
A．2:1 B．1:2 C．3:2 D．2:3
9．梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，EF∥AD交AB、CD于E、F，且梯形AEFD與梯形EBCF相似，則EF等于( )
A. B. C. D.不能確定
10．已知△ABC的三邊長分別為20cm ，50cm，60cm，現要利用長度分別為30cm和60cm的細木條各一根，做一個三角形木架與三角形相似，要求以其中一根為一邊，將另一根截成兩段（允許有余料）作為另外兩邊.那么另兩邊的長度（單位：cm）分別為（ ）
A、10，25 B、10，36或12，36 C、12，36 D、10，25或12，36
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）
11．在一張地圖上，甲、乙兩地的圖上距離是3 cm,而兩地的實際距離為1500 m，那么這張地圖的比例尺為________.
12．如圖，DE與△ABC的邊AB，AC分別相交于D，E兩點，且DE∥BC．若DE＝2㎝，BC＝3㎝，EC＝ ㎝，則AC＝________㎝．
13．如果Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，AB=3，BC=2，A′B′=12，則A′C′=________.
14．如圖，五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′是位似圖形，且位似比為 .若五邊形ABCDE的面積為17 cm2，周長為20 cm， 那么五邊形A′B′C′D′E ′的面積為_ _______，周長為________.
15．如圖，火焰的光線穿過小孔O，在豎直的屏幕上形成倒立的實像，像的長度BD=2 cm，OA=60 cm,OB=15 cm，則火焰的長度為________.
三、解答題（本大題共6小題，共50分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．（本題6分）已知△ABC中，AB=15 cm，BC=20 cm，AC=30 cm，另一個與它相似的△A′B′C′的最長邊為40 cm，求△A′B′C′的其余兩邊的長.
17．（本題8分）如圖，E、F分別為矩形ABCD的邊AD、BC的中點，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1.求矩形ABCD的面積.
18． （本題8分）已知Rt△ABC中，∠C=90º
（1）根據要求作圖（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）
①作∠BAC的平分線AD交BC于D；②作線段AD的垂直平分線交AB于E，交AC于F，垂足為H；③連接ED.
（2）在（1）的基礎上寫出一對相似比不為1的相似三角形和一對全 等三角形：
△________∽△________；△________≌△________.
并選擇其中一對加以證明. 證明：
19如圖， ．
求證：（1）∠BAD＝∠CAE． �。�2）ΔABD∽ΔACE．
20．（本題10分）如圖，在△ABC中，AB=AC =1，點D,E在直線BC上運動．設BD=x, CE=y
(l）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，試確定y與x之間的函數關系式；
(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,當α, β滿足怎樣的關系時，(l）中y與x之間的函數關系式還成立？試說明理由．
21．（本題10分）如圖，在 的外接圓 中， 是 的中點， 交 于點 ，連結 ．
（1）列出圖中所有相似三角形；
（2）連結 ，若在 上任取一點 （點 除外），連結 交 于點 ， 是否成立？若成立，給出證明；若不成立，舉例說明．
參考答案
1．D 2．B 3．A 4．A 5．D 6．B 7．D 8．A 9．A 10．D
11．1∶50000 12．2 13．4 14． cm2 10 cm 15．8 cm
16．A′B′=20 cm，B′C′=26 cm 17．
18．（1）略;（2）相似三角形有△AHF∽△ACD, △AHE∽△ACD, △DHE∽△ACD, △BDE∽△BCA等; 等三角形有△AHF≌△AHE, △ACD≌△AHE, △ AHF≌△DHE. 證明略
19． 梯形ABCD中AD//BC ∽ ， AD=10，BC=20 .
∵ ，還需要資金200×10=2000（元），而剩余資金為2000－500=1500＜2000，所以資金不夠用.
20．(l)在△ABC中，AB=AC =1，∠BAC=300, ∴∠ABC＝∠ACB=750,
∴∠ABD＝∠ACE=1050, ∵∠DAE=1050.∴∠DAB＝∠CAE=750,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=750,∴∠CAE＝∠ADB,∴△ADB∽△EAC.
∴ ,即 .
(2）當α、β滿足關系式 時，函數關系式 成立．
理由如下：要使 ，即 成立，須且只須△ADB∽△EAC.
由于∠ABD＝∠ECA，故只須∠ADB＝∠EAC.
又∠ADB+∠BAD=∠ABC= ,∠EAC+∠BAD=β-α,
所以只 =β-α,須即 .
21．（1） ， ， ．
（2） 成立．證明略.
參考答案
1．D 2．B 3．A 4．A 5．D 6．B 7．D 8．A 9．A 10．D
11．1∶50000 12．2 13．4 14． cm2 10 cm 15．8 cm
16．A′B′=20 cm，B′C′=26 cm 17．
18．（1）略;（2）相似三角形有△AHF∽△ACD, △AHE∽△ACD, △DHE∽△ACD, △BDE∽△BCA等; 等三角形有△AHF≌△AHE, △ACD≌△AHE, △AHF≌△DHE. 證明略
19． 梯形ABCD中AD//BC ∽ ， AD=10，BC=20 .
∵ ，還需要資金200×10=2000（元），而剩余資金為2000－500=1500＜2000，所以資金不夠用.
20．(l)在△ABC中，AB=AC =1，∠BAC=300, ∴∠ABC＝∠ACB=750,
∴∠ABD＝∠ACE=1050, ∵∠DAE=1050.∴∠DAB＝∠CAE=750,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=750,∴∠CAE＝∠ADB,∴△ADB∽△EAC.
∴ ,即 .
(2）當α、β滿足關系式 時，函數關系式 成立．
理由如下：要使 ，即 成立，須且只須△ADB∽△EAC.
由于∠ABD＝∠ECA，故只須∠ADB＝∠EAC.
又∠ADB+∠BAD=∠ABC= ,∠EAC+∠BAD=β-α,
所以只 =β-α,須即 .
21．（1） ， ， ．
（2） 成立．證明略.
